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John Horton Conway, il mago della matematica

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John Horton Conway, il mago della matematica

Tra le tante personalità che sono scomparse nel 2020 vi è da menzionare anche il celebre e poliedrico, quasi magico, matematico John Horton Conway, famoso tanto nel mondo della matematica, quanto nel mondo della filosofia, spentosi a New Brunswick per COVID-19 l’11 aprile del 2020.

Conway nacque a Liverpool il 26 dicembre 1937 terzogenito e unico figlio di Cyril Horton e Agnes (Boyce) Conway. Il padre, autodidatta, aveva lasciato la scuola all’età di 14 anni e, con la sua memoria fotografica, si guadagnava da vivere giocando a carte. Successivamente è stato tecnico nel laboratorio di chimica della Liverpool Institute High School for Boys, organizzando esperimenti per studenti. La madre era una vorace lettrice di Dickens. Appassionato di matematica fin da adolescente, era un ragazzo estremamente introverso. L’ammissione a Cambridge, alla facoltà di matematica nel 1956, lo cambiò radicalmente, tanto che nel corso del tempo venne soprannominato come “il matematico più carismatico del mondo”. Si laureò in matematica nel 1959 e ottenne il dottorato nel 1964. Divenne prima borsista al Gonville e al Caius College e poi professore di matematica a Cambridge fino al 1987. È stato nominato membro della Royal Society nel 1981. Dal 1987 al 2013 ha assunto la cattedra di matematica che fu di Von Neumann a Princeton.

Nel corso della sua lunga carriera, Conway ha contribuito significativamente alla matematica nei campi della teoria dei gruppi, teoria dei numeri, teoria dei nodi, algebra, topologia geometrica, fisica teorica e teoria dei giochi combinatoria.

Il suo apporto è stato fondamentale in ognuno di questi campi, dai gruppi di 8 x 10⁵³ possibili simmetrie (in uno spazio a 196883 dimensioni: il Mostro di Conway) al criterio di tassellazione di Conway, dalla variante del polinomio di Alexander alla congettura di Waring (dimostrata quando era ancora studente: ogni numero intero potrebbe essere scritto come la somma di 37 numeri ciascuno elevato alla quinta potenza). Ma il suo contributo ha riguardato anche argomenti molto complessi ma molto vicini alla nostra esistenza: basti pensare al calendario.

Conway elaborò nel 1973 l’algoritmo Doomsday di determinazione del giorno della settimana per una determinata data, approfittando del fatto che per ogni anno esiste un determinato giorno della settimana (Doomsday) in cui cadono alcune date facili da ricordare (il 4/4, 6/6, 8/8, 10/10, 12/12 e l’ultimo giorno di febbraio, ogni anno, cadono tutti nello stesso giorno della settimana). L’algoritmo è applicabile sia al calendario giuliano (dopo Cristo) che a quello gregoriano.

Accanito giocatore di backgammon è noto soprattutto per le sue “invenzioni” nella teoria dei

nodi, nella teoria dei giochi e nella fisica teorica.  Per quanto riguarda la prima, la scoperta di cui andava più fiero fu quella dei Numeri Surreali, concepiti quasi per caso mentre imparava il Go nel 1970 (presentati nel 1974 nel libro di Donald Knuth “Surreal Numbers: How Two Ex-Students Turned to Pure Mathematics and Found Total Happiness”). Questo continuum di numeri include non solo numeri reali come interi, frazioni e numeri irrazionali, ma anche i complessi e iperreali, numeri infinitesimali e infiniti. Conway intuì che il gioco (con questo molti altri come il domino e la dama) poteva essere analizzato dopo averlo scomposto in una serie di giochi più semplici e che alcuni giochi si potevano interpretare come numeri. Conway arrivò a definire una nuova famiglia di numeri il cui comportamento era analogo a quello di questi giochi. Per farla breve un numero surreale, è una coppia di insiemi tali che ogni elemento del primo insieme è più piccolo di ogni elemento del secondo insieme. A distanza di 50 anni è ancora un campo da indagare profondamente, uno spazio di pensabilità che coinvolge anche la teoria dei numeri.

Nel campo della fisica teorica, nel 2004 con Simon Kochen ha dimostrato il Teorema del Libero Arbitrio (legato al problema della non esistenza di variabili nascoste in meccanica quantistica): dati i tre assiomi di “fin”, “spin” e “twin”, verificabili sperimentalmente, se due sperimentatori, separati nello spazio tempo, sono liberi di scegliere quali misure prendere, allora i risultati delle misurazioni non possono essere determinati da nulla precedente agli esperimenti. In altre parole se uno sperimentatore può scegliere liberamente cosa misurare in un particolare esperimento, allora le particelle elementari possono anche scegliere liberamente i loro giri per rendere le misurazioni coerenti con la legge fisica. In altre parole ancora se i fisici hanno il libero arbitrio durante gli esperimenti, allora anche le particelle elementari possiedono il libero arbitrio.

Ma è con la Teoria dei Giochi che Conway divenne famoso. Ne inventò molti ma i quattro più famosi sono: la Dama di Conway (1961), i Germogli di Conway (1967), il Calcio Filosofico (Phutball 1982) e soprattutto il Game of Life (1970).

La Dama di Conway si svolge su una scacchiera infinita, il cui campo è diviso da una linea orizzontale. Al di là della linea vi sono solo caselle vuote, al di qua invece un numero arbitrario di dame che possono mangiarsi in verticale e in orizzontale. L’obiettivo del gioco è portare il maggior numero di dame oltre la linea divisoria. Conway ha dimostrato che non esiste una sequenza finita di mosse che consenta di portare una dama più di quattro file oltre la linea.

I Germogli sono un gioco di società da svolgere in due giocatori: su un foglio si tracciano un numero arbitrario di punti, a turno due giocatori tracciano una linea che unisce fra loro due punti qualsiasi o che ritorna allo stesso punto di partenza, segnando poi sulla linea tracciata un nuovo punto. Due sono le regole: ogni linea, ma non deve intersecare le altre linee già tracciate, né può attraversare i punti in gioco; e da ogni punto non possono partire più di tre linee. Vince il giocatore che traccia l’ultima linea e che lascia l’avversario nell’impossibilità di tracciare nuove linee. Conway ha dimostrato che se n è il numero di punti iniziali, in 3n-1 mosse al massimo il gioco è terminato.

Il Phutball o Calcio Filosofico, pubblicato nel 1982 nel Winning Ways for your Mathematical Plays, si gioca sulle intersezioni di una griglia 19×15 con una dama bianca e tante dame nere quante ne si vuole. Le righe sono numerate da 1 a 19 e le colonne da A a P, le righe 0 e 20 sono di fatto l’equivalente della linea di fondo, del fuori campo. La dama bianca è la palla, le nere sono i calciatori e l’obiettivo dei due giocatori è portare la palla nelle righe 0 e 20. Il pallone è posizionato nel punto centrale della griglia e un giocatore può fare due mosse: o muove la palla o posiziona un calciatore in un punto vuoto della griglia. Non c’è divisione in squadre.

Il pallone si muove saltando al primo punto libero dopo aver mangiato uno o più calciatori (in verticale, orizzontale o diagonale), che vengono rimossi in gruppo. La mangiata non è obbligatoria e perchè il gol sia valido, il pallone deve finire il movimento sopra la linea di porta avversaria, venendo annullato il gol se finisce oltre. Il gioco è progettato per essere un problema NP-completo (si parla di teoria della complessità computazionale).

Abbiamo lasciato per ultimo il gioco che lo ha reso famoso in tutto il mondo, il Game of Life.

Sul numero di ottobre 1970 di Scientific American, l’editorialista Martin Gardner presentò il Game of Life di Conway nella sezione dei Giochi Matematici (The fantastic combinations of John Conway’s new solitaire game “Life”). Quello che però era stato presentato come un gioco rivelò presto possibilità infinite. L’eleganza e la genialità di Conway stanno qui: con una semplice griglia (infinita o meno) e poche, all’apparenza banali, regole Conway ha progettato un automa cellulare che ha la potenzialità di essere una Macchina di Turing Universale (è un Turing-equivalente), ovverosia il Game of Life può elaborare tutto ciò che può essere elaborato algoritmicamente (basta trovare la configurazione giusta per far qualsiasi tipo di calcolo dentro il gioco, e simulare ogni tipo di software). Si tratta di un gioco senza giocatori in cui la sua evoluzione è determinata dal suo stato iniziale, senza necessità di alcun input da parte di giocatori umani. Si svolge su una griglia di celle quadrate, detta “mondo” che si estende all’infinito in tutte le direzioni. Ogni cella ha 8 vicini, che sono le celle ad essa adiacenti e può trovarsi in due stati: ON e OFF. Lo stato della griglia evolve in intervalli di tempo discreti. La fisica di Life è molto semplice: per ogni cella della griglia, si conti quante delle 8 celle vicine sono ON nell’istante preso in considerazione. Se la risposta è 2, la cella permane nel suo stato presente (ON o OFF), anche nell’istante successivo. Se la risposta è 3, la cella diventa o permane ON, nell’istante successivo. Se la cella ha meno di due celle attive (sottopopolamento) intorno a lei, oppure ne ha più di 3 (sovrappopolamento)  allora diventa OFF.

Tutto qui: una mirabile sintesi degli anni di ricerche di Von Neumann e Ulam sugli automi cellulari unito all’idea di universo democriteo di Willard Van Orman Quine. Life è un universo bidimensionale deterministico. Lo scopo di Conway era mostrare come comportamenti simili a quelli di una vita possano emergere da regole elementari e interazioni con i vicini. Per cui la complessità può emergere da universi semplici. Le configurazioni del mondo seguono tutte le stesse regole, ma le loro capacità variano a seconda di come sono progettate. Il Game of Life fu una vera bomba atomica nell’episteme umano, che ha tuttora ripercussioni importantissime su una varietà di discipline: dall’economia all’ecobiologia, dall’evoluzionismo alla filosofia (tutto l’intento compatibilista di Dennet prende appunto partenza dagli infiniti universi possibili di Life), dalla teoria della complessità ai problemi informatici legati alla incomputabilità.

Conway ha offerto nuove possibilità epistemologiche: l’universo si potrebbe immaginare come un enorme automa cellulare di cui noi stessi non siamo che pedine, configurazioni atomiche, che seguono regole semplici e uniformi sottese alla complessità emergente. Noi diciamo che una configurazione, e ne esistono di così complesse da essere incomputabili,  “ne assorbe” un’altra, “resiste” agli attacchi di un’altra configurazione, “si riproduce”, “si muove”… in realtà sono solo celle che sono su ON o OFF e utilizziamo un livello di astrazione maggiormente sintetico ma efficace (non per questo meno vero) per concettualizzare la complessità reale. Anche Life si è evoluto in automi cellulari ancora più raffinati (celle esagonali, cubi, superfici di Moebius) e tuttora viene indagato dai matematici e dagli informatici per le possibilità che offre.

Conway era in fin dei conti un platonico, per lui la matematica è una sonda per vedere universi che stanno lì, oltre ma non necessariamente fuori di noi. Mostrare infinite possibilità su ennesimi universi, con lo spirito semplice e stimolante del gioco (le testimonianze su quanto amasse scherzare e giocare per spiegare i concetti a lezione e fuori abbondano): la più grande eredità di un genio.

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Laureato magistrale in Scienze Filosofiche all'Università degli Studi di Milano, è attualmente consigliere comunale nel paese di Cesano Boscone.

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