Nikolaj Lobacevskij e il grande viaggio della geometria

Nikolaj Lobacevskij e il grande viaggio della geometria

Il progresso della cosmologia novecentesco non sarebbe stato possibile senza un mutamento precedente e contemporaneo della matematica e della geometria. Per quanto riguarda la seconda e la teorizzazione della nuova geometria, quella non euclidea, tre nomi sono da ricordare: Gauss, Bolyai e Lobacevskij. Ed è del terzo di loro, forse il meno noto, che andiamo a parlare

Nikolaj Lobacevskij nacque a Niznij Novgorod il 1 dicembre 1792 da genitori di origine russa e polacca. Il padre, Ivan era un impiegato del catasto, la madre Praskovia Alexandrovna ebbe col marito oltre a Nikolaj altri 2 figli. Nel 1800 Ivan morì e la madre, con i tre figli si trasferì a Kazan. Lobacevskij frequentò il Ginnasio di Kazan dal 1802 e diplomatosi nel 1807, si iscrisse all’Università di Kazan, fondata 3 anni prima da Stepan Rumowski. Qui diventò allievo del matematico ed erudito tedesco Johann Christian Martin Bartels, giunto in Russia proprio quell’anno su richiesta del rettore. Era un insegnate rinomato in tutta la mitteleuropa avendo insegnato a Brunswick, in Argovia e a Jena. Proprio a Brunswick si trovò come allievo Gauss e lo incoraggiò nei suoi studi, raccomandandolo personalmente al Duca. Alunno straordinariamente brillante prese la laurea in fisica e matematica nel 1811 a soli 18 anni. Nel 1814 divenne docente all’Università di Kazan, nel 1816 fu promosso a professore associato. Nel 1822, all’età di 30 anni, diventò professore ordinario, insegnando matematica, fisica e astronomia. Oltre ai compiti di insegnamento ricoprì anche incarichi amministrativi di rilievo, occupandosi del riordinamento della biblioteca dell’università, organizzata fino a quel momento senza uno schema, e della sistemazione razionale delle collezioni del museo. Dal 1827 al 1846 fu rettore dell’Università: fece costruire nuovi edifici, tra i quali un osservatorio astronomico, nuove aule, laboratori di anatomia e chimica e una nuova biblioteca. Gauss lesse le sue “Ricerche geometriche sulla teoria delle parallele” del 1840 e colpitone favorevolmente, fece in modo che divenisse membro, nel 1842, della Società Scientifica di Gottinga. Nel 1832 sposò Varvara Alexeyevna Moiseyeva: fu un matrimonio felice, con 18 figli (di cui solo sette raggiunsero la maggiore età. Nel 1846 lasciò l’Università, costretto al pensionamento e la sua salute peggiorò notevolmente nel giro dei 10 anni successivi, morendo cieco e povero nel 1856.

Lobacevskij aveva concepito la nuova geometria non euclidea proprio a Kazan già nel 1823, quasi contemporaneamente e indipendentemente da Bolyai e non avendo notizia, se non in maniera del tutto superficiale, delle riflessioni che Gauss faceva da ormai 25 anni ma che non aveva reso note, se non dando qualche spunto in carteggi privati. Lobacevskij, in un’opera di quell’anno, “Geometria Elementare” diceva di non aver dimostrato il V postulato di Euclide.

I tentativi di dimostrazione che si erano succeduti nei secoli, finché verso la fine del ‘700 si era intuitivamente capito che o la via era la dimostrazione tramite consequentia mirabilis, oppure la coerenza della negazione stessa V postulato. La prima via fu quella di Saccheri, Lambert e Legendre. Il gesuita Girolamo Saccheri chiarificò di molto la questione, dimostrando che il postulato delle parallele equivale all’esistenza dei rettangoli, parendogli poi inconcepibile una geometria in cui non esistono rettangoli e quadrati. Lambert scoprì il criterio Angolo-Angolo-Angolo per cui due triangoli aventi tre angoli uguali a due a due, sono uguali, capendo così che l’area di un triangolo è proporzionale al difetto della sua somma angolare. Non riuscendo però a capire il valore della costante di questa diretta proporzionalità, intuì per primo la possibilità di una geometria sferica immaginaria, non solo nel senso di “non reale” ma di una geometria relativa a sfere con raggio ir dove i è proprio il numero immaginario . Era una strana geometria a curvatura negativa, sviluppata su una pseudosfera, che gli appariva in netta contraddizione con la realtà e che costringeva ad una misura assoluta dei segmenti, così come si misurano gli angoli. Questo era, grosso modo, lo stato dell’arte conosciuto da Lobacevskij sulla discussione circa il V postulato di Euclide, una discussione che comunque si trascinava da secoli, da Posidonio a Gemino, da Omar Khayyam a Vitale e Wallis. A ciò ovviamente va aggiunta tutta la matematica gaussiana sulla curvatura. Si era sulla soglia della geometria iperbolica, una soglia che fu varcata pubblicamente per primo proprio da Lobacevskij. Negare apertamente il postulato di Euclide, adesso lo fanno tutti, ma nel ‘800 era un gesto di coraggio non indifferente, tanto che Gauss, convinto e a ragione, che una geometria senza il V postulato non potesse avere al tempo una corrispondenza fisica, per mancanza di strumenti, decise di non pubblicare mai le sue riflessioni.

Lobacevskij quel passo lo fece e nel 1826 tenne all’Università di Kazan una “Esposizione succinta dei principi della geometria, con una dimostrazione rigorosa del teorema delle parallele” nella quale annunciò i risultati cruciali della nuova geometria. Il testo venne preso dall’Università e di fatto, fatto sparire, ma Lobacevskij lo ripubblicò nel 1829 con il titolo “Principi della geometria” opera che passò alla storia come momento ufficiale della nascita della geometria non euclidea. Nel 1835 uscirono i “Nuovi principi della geometria” che era l’esposizione sistematica e completa dell’argomento. Ancora oggi noi usiamo la notazione per indicare l’angolo di parallelismo corrispondente al segmento di lunghezza x. Diede poi alle stampe nel 1855 il volume “Pangeometria”.

Come ebbe a dire lo stesso Gauss, Lobacevskij, con spirito veramente geometrico, sviluppava magistralmente la nuova “geometria immaginaria”. Nella nuova geometria iperbolica le linee che escono da un punto, o intersecano una data retta nel medesimo piano, oppure non si incontrano mai con essa, per quanto vengano prolungate. In altre parole nella geometria immaginaria esistono infinite rette passanti per un punto che non incontrano mai una retta data. Se l’angolo di parallelismo tra le due rette è di 90° allora si è nella geometria euclidea se invece è minore si è nella geometria immaginaria. Lobacevskij, tramite i concetti di oriciclo e orisfera (cioè cerchi e sfere immaginari i cui raggi convergono verso asintoticamente nel centro all’infinito), riduce la geometria piana ad un caso speciale di quella immaginaria. Quella che Lobacevskij aveva offerto era un’idea differente del comportamento delle linee rette sulle lunghe distanze. Da ciò derivavano teoremi innovativi: ad esempio, andando oltre Lambert e Saccheri, Lobacevskij dimostrò come la sommatoria degli angoli interni di un triangolo fosse minore di 180°, che due triangoli con angoli uguali sono uguali e che se un quadrilatero ha tre angoli retti, il quarto è necessariamente acuto.

La geometria euclidea ne esce ridimensionata ma anche rinforzata: è il caso intermedio, particolarmente importante, fra quelli delle superfici a curvatura costante positiva (la sfera) e negativa (l’iperbole). Diviene il caso di curvatura nulla, che però descrive le proprietà di posizione e grandezza dei corpi con una approssimazione largamente sufficiente per tutte le applicazioni del tempo e per le dimensioni umanamente percepite. Tanto che Lobacevskij, non incline all’ a-priori kantiano sullo spazio, provò a trovare conferma empirica della sua geometria, cercando una misurazione del triangolo astronomico formato dalla Terra, dal Sole e da Sirio. Sbagliò clamorosamente la misurazione, dandole un valore di 4 decimillesimi di secondo che è comunque 100 volte tanto il valore reale. Ma lo spazio, per quanto la curvatura è piccola è curvo.

Il merito di Lobacevskij fu quello di aver capito che nelle conseguenze della sua ipotesi non vi era assurdità ma argomenti ben motivati e coerenti nel loro complesso.

Vero che Gauss era da almeno 30 anni che meditava sulle geometrie non euclidee e che probabilmente Lobacevskij, tramite Bartels qualche notizia può averla avuta, vero che Janos Bolyai era dal 1820 che lavorava sul postulato delle parallele (ma lui non aveva contatti, neanche interposti, con Lobacevskij) ma Gauss non si espose e Bolyai lo fece solo nel 1832 con una “Appendice che espone in maniera assoluta la vera scienza nello spazio” di 24 pagine all’opera  del padre Farkas “Tentativo di introdurre la gioventù studiosa agli elementi di matematica pura, elementare e superiore”. Fu Lobacevskij che, dalla periferia d’Europa, diede l’inizio ufficiale della nuova stagione della geometria.

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